Mẫu thống kê
Tổng thể và mẫu
Tổng thể: ký hiệu X là đặc tính cần nghiên cứu. Tập hợp M gồm tất cả những phần tử mang đặc tính X của một vấn đề quan tâm nghiên cứu gọi là tổng thể. Ta gọi N là số phần tử của tổng thể.
Ví dụ
- Số cử tri trong một cuộc bầu cử.
- Thu nhập của các hộ gia đình ở Tp.HCM
- Điểm trung bình các tất cả sinh viên trong một
trường đại học.
- Trọng lượng một loại cá dưới hồ.
- ...
Tổng thể và mẫu
Thông thường, N rất lớn nên ta không thể lấy hết những phần tử của M để thực hiện thí nghiệm vì những lý do sau:
N quá lớn.
Thời gian và kinh phí không cho phép.
Có thể làm hư hại hết các phần tử của M.

Tổng thể và mẫu
Vì vậy người ta thường lấy một số phần tử của M để nghiên cứu, các phần tử này gọi là mẫu lấy từ M. Số phần tử của mẫu gọi là cỡ mẫu, ký hiệu là n.
Ví dụ
Thăm dò 2000 cử tri.
Khảo sát 300 gia đình.
Cân trọng lượng 500 con cá.
…
Tham số: là một đặc trưng cụ thể của một tổng thể.
Thống kê: là một đặc trưng cụ thể của một mẫu.
Tổng thể và mẫu
a b c d
ef gh i jk l m n
o p q rs t u v w
x y z

Tổng thể
Mẫu
b c
g i n
o r u
y

Những giá trị được tính toán bằng số liệu của tổng thể gọi là tham số.
Những giá trị được tính toán bằng số liệu của mẫu gọi là thống kê.
Chọn mẫu ngẫu nhiên
Các phần tử của mẫu lấy ngẫu nhiên từ M.
Các phần tử của M có cùng khả năng được lấy ra làm mẫu.
Các phần tử của mẫu được lấy một cách độc lập với nhau.
Tất cả những mẫu cỡ n cũng có cùng khả năng được chọn từ tổng thể M.
Một mẫu được chọn thỏa các điều kiện trên
gọi là mẫu ngẫu nhiên.
Chọn mẫu ngẫu nhiên
Ký hiệu Xi là giá trị quan sát X trên phần tử thứ i của mẫu. Khi đó ta có một bộ n biến ngẫu nhiên (X1, ..., Xn) gọi là mẫu lý thuyết lấy từ M.
Tính chất mẫu:
Các Xi có cùng phân phối như X.
Các Xi độc lập với nhau.
Khi đã lấy mẫu cụ thể xong ta có các số liệu (x1, .., xn) gọi là mẫu thực nghiệm lấy từ X.
Phương pháp lấy mẫu ngẫu nhiên đơn giản
Đánh số các phần tử của M từ 1 đến N. Và lập các phiếu cũng đánh số như vậy.Trộn đều các phiếu, sau đó lấy lần lượt có hoàn lại n phiếu. Các phần tử của M có số thứ tự trong phiếu lấy ra sẽ được chọn làm mẫu.
Biểu diễn số liệu theo bảng
Bảng thống kê đơn giản



hoặc: x1 x2 x3 ... xn-1 xn

Ví dụ. Đo chiều cao của 10 sinh viên trong lớp
Kết quả: 160 155 147 155 168 181 150 163 168 155
(Đv: cm)
Biểu diễn số liệu theo bảng
Bảng tần số


Với n1 + n2 + ... + nk = n
Ví dụ. Khảo sát lương của 50 công nhân trong một nhà máy.
X = Lương tháng của công nhân. (Đv: Triệu đ/tháng)
Biểu diễn số liệu theo bảng
Bảng tần số chia khoảng


Với n1 + n2 + ... + nk = n
Chuyển: xi = (ai + bi)/2, thu được

Các đặc trưng mẫu
Trung bình
Phương sai – Độ lệch tiêu chuẩn
Trung vị
Mode
Các đặc trưng mẫu
Xét mẫu cỡ n (X1, ..., Xn):
X1 X2 X3 ... Xn-1 Xn

Trung bình mẫu:

Các đặc trưng mẫu
Phương sai mẫu:






Với
Các đặc trưng mẫu
Phương sai mẫu hiệu chỉnh






Độ lệch tiêu chuẩn:
Các đặc trưng mẫu
Xét mẫu cỡ n (X1, ..., Xn) được biểu diễn theo bảng tần số




Trung bình mẫu:

Các đặc trưng mẫu
Phương sai mẫu:






Với
Các đặc trưng mẫu
Phương sai mẫu hiệu chỉnh






Độ lệch tiêu chuẩn:
Các đặc trưng mẫu
Ví dụ 1. Khảo sát chiều cao của 15 sv trong một lớp học:
160,165,155,162,167,145,158,170,165,155
158,160,170,175,169
Tính các tham số mẫu.
Ví dụ 2. Thời gian tự học của 90 sv trường Tự nhiên cho bởi bảng sau



Tính các tham số mẫu
Các phân phối thường gặp trong thống kê

Phân phối chuẩn.
Phân phối Chi – bình phương.
Phân phối Student.
Phân phối Fisher – Snedecor.
Phân phối Chi – bình phương
Xét Z1, Z2, ..., Zn là n biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn hóa, tức là Zi ~ N(0,1) với i=1,..,n. Z1, Z2, ..., Zn độc lập với nhau.
Đặt



Đại lượng ngẫu nhiên Y gọi là có phân phối Chi – bình phương với n bậc tự do.
Ký hiệu:
Phân phối Student
Xét biến ngẫu nhiên X ~ N(0,1) và Y ~ 2(n); X và Y độc lập với nhau.
Đặt




Đại lượng ngẫu nhiên T gọi là có phân phối Student với n bậc tự do.
Ký hiệu: T ~ t(n)
Phân phối Student
Tìm phân vị mức  của T ~ t(n).
Ký hiệu: là phân vị mức  của biến ngẫu nhiên T có phân phối Student với n bậc tự do.
Tìm : tra bảng Student. Với


Cho T ~ t(25), tìm phân vị 97,5% của T.